Nombres complexos a 1r de BAT

Els nombres complexos van sorgir de la necessitat de trobar solucions d'equacions de segon i tercer grau. A l'actualitat tenen un paper indispensable en moltes branques de les matemàtiques pures i aplicades. A més els nombres complexos s'utilitzen en molts camps de la física i en enginyeria, especialment en l'electrònica i les telecomunicacions, per la seva utilitat per a representar les ones electromagnètiques i el corrent elèctric. Els podem trobar també en els fractals, que permeten trobar patrons matemàtics a la natura.

En acabar el tema et resultarà més fàcil entendre aquesta Introducció històrica .

Preparat? Vinga, doncs: Nombres complexos .

Com hem dit, els nombres complexos van sorgir de la necessitat de resoldre equacions polinòmiques.

La primera referència coneguda d'arrels quadrades de nombres negatius prové del treball dels matemàtics grecs, com Heró d'Alexandria al segle I abans de Crist, com a resultat d'una impossible secció d'una piràmide. Tot i això, no es va acceptar la seva existència fins molts anys després, ja que els antics grecs refusaven tot nombre que no tingués una relació amb la geometria.

Així, els antics grecs negaven l'existència tant dels nombres negatius com dels irracionals i dels imaginaris. Així, Diofant (sovint considerat "el pare de l'àlgebra") diu que cap de les equacions següents té solució.

$x+2=0;x^2=2;x^2+2=0$

Abans del segle XVI ja s'havien acceptat amb normalitat els nombres irracionals ja que els podien aproximar fàcilment amb nombres racionals. Els nombres negatius produïen més dificultat, però la idea de sentit o direcció sobre una recta els feia possibles com a magnitud orientada.

Va ser el descobriment de la solució de les equacions cúbiques, feta pels algebristes italians del segle XVI, el que va portar a estudiar les arrels quadrades de nombres negatius. Van trobar una fórmula per resoldre aquestes equacions però a vegades els portava a arrels de nombres negatius en casos en què coneixien l'existència d'alguna arrel real! Encara que fos només per aquests casos, calia estudiar aquests nombres imaginaris. L'any 1545, Gerolamo Cardano va publicar l'obra Ars Magna , la portada de la qual tens aquí al costat. La traducció del tìtol vindria a ser El Gran Art de resoldre equacions algebraiques. En aquest llibre es mostren les solucions de les equacions de tercer i quart grau, obtingudes per Scipione del Ferro (1465-1526), Nicolo Fontana Tartaglia (1500-1557), Ludovico Ferrari (1522-1565) i el mateix Cardano.

En aquesta obra, Cardano dóna una fórmula que pot ser utilitzada per resoldre certes equacions cúbiques. Amb la notació actual seria:

Si $x^3=\mathrm{ax}+b$ llavors $x=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{b}{2}}+\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{a}{3}}\right)}^3}}+\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{b}{2}}-\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{a}{3}}\right)}^3}}$

Aquesta fórmula és coneguda com fórmula de Cardano i va intentar utilitzar-la per resoldre l'equació:

$x^3=15x+4$ Aplicant la fórmula de Cardano obtenim:

$x=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{4}{2}}+\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{4}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{15}{3}}\right)}^3}}+\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{4}{2}}-\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{4}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{15}{3}}\right)}^3}}=$

$=\sqrt[3]{2+\sqrt{4-125}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{4-125}}=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$

Cardano no va poder continuar, sabia que no existeixen les arrels de nombres negatius, però també sabia que x = 4 era solució de l'equació (com tu mateix pots comprovar) i no ho podia entendre!

En un altre capítol del mateix llibre posa el problema: Dividir 10 en dues parts, el producte de les quals sigui 40.

L'equació per resoldre el problema és: $x(10-x)=40;x^2-10x+40=0$

Com tu mateix pots comprovar, aplicant la fórmula de l'equació de 2n grau, una part ha de ser $5+\sqrt{-15}$ i l'altra $5-\sqrt{-15}$. I, escriu:

"És clar que aquest cas és impossible. No obstant, deixant a part les complicades tortures mentals, multiplico $5+\sqrt{-15}$ per $5-\sqrt{-15}$ i dóna $25-(-15)$ que és $25+15$; així el producte és 40 i la suma 10 ... Això és realment sofisticat!"

Així Cardano fou el primer a introduir els nombres complexos $a+\sqrt{-b}$ a l'àlgebra (llavors encara no s'utilitzava la i), però tenia serioses pors i dubtes sobre ells.

Els mateixos dubtes que van tenir altres matemàtics posteriors que els van anomenar nombres impossibles, nombres inútils, nombres imaginaris. El terme imaginari per aquestes quantitats el va encunyar Descartes al segle XVII.

Va ser Euler, l'any 1777, qui va donar a $\sqrt{-1}$ el nom de i (inicial d'imaginari) i és, a partir d'aquí, quan es desenvolupa tota la teoria dels nombres complexos.

L'existència de nombres complexos no fou completament acceptada fins a la seva interpretació geomètrica que fou descrita per Wessel el 1799, redescoberta uns anys més tard i popularitzada per Gauss.

Tot això i molt més, en aquest extraordinari video:

1. A. Introducció
2. B. Nombres complexos
3. C. El pla complex. Representació gràfica
4. D. Complexos conjugats
5. E. Expressions dels nombres complexos
6. F. Operacions en forma binòmica.
7. G. Operacions en forma polar.

De cursos anteriors coneixes diferents tipus de nombres, naturals ( $\mathbb{N}$), enters ( $\mathbb{Z}$), racionals ( $\mathbb{Q}$) i reals ( $ℝ$). Cadascun d'aquests tipus de nombres ens han permès resoldre diferents equacions. Així:

• la solució de l'equació $x+4=9$ és un nombre natural $x=5$, i $5\in \mathbb{N}$
• però a $\mathbb{N}$ no té solució l'equació $x+5=3$, la solució és $x=-2$ però $-2\notin \mathbb{N}$, necessitàvem uns altres nombres que eren els enters ( $\mathbb{Z}$), $-2\in \mathbb{Z}$
• no hi ha cap nombre enter que compleixi $2x=3$, perquè ${\displaystyle \frac{3}{2}}\notin \mathbb{Z}$ , ${\displaystyle \frac{3}{2}}\in \mathbb{Q}$
• però a $\mathbb{Q}$ no hi ha solució de l'equació $x^2-2=0$, $\pm \sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$, $\pm \sqrt{2}\in ℝ$

Hem anat ampliant el conjunt de nombres des dels naturals fins als reals. El conjunt dels nombres reals ( $ℝ$) és el que conté tots els nombres amb els que hem treballat fins ara, però encara ens queden equacions sense solució, per exemple:

• $x^2+1=0$
• $x^2+2=0$
• $x^2+x+1=0$
• .... i mooooltes altres!

Bé, ja hem resolt algunes equacions que no sabiem resoldre fins ara. Però han estat equacions una mica especials (incompletes). A veure si podem resoldre també les completes.

Veient les solucions de les equacions anteriors, ja podem dir com han de ser aquests nous nombres.

Sovint donem nom als nombres complexos, sobretot si n'hem de fer referència moltes vegades. Així, diem:

Donat el nombre complex $z=$ ....

Sabent ja com són aquest nombres complexos, podem passar a conèixer-los millor, treballar amb ells, fer operacions, etc, ...

Donat un nombre complex $z=a+bi$, $a$ es diu que és la part real i es representa per $\mathrm{Re}(z)$, i $b$ la part imaginària i es representa per $\mathrm{Im}(z)$.

Cal adonar-se'n que si la part imaginària d'un nombre complex és nul·la, és a dir $b=0$, aquest nombre complex és un nombre real. Podem dir que no té part imaginària. Això vol dir que el conjunt dels nombres complexos $ℂ$ inclou al conjunt dels nombres reals $ℝ$ i ho expressem així: $ℝ\subset ℂ$. (el nombres reals estan inclosos en els nombres complexos).

D'altra banda si el que és nul és la part real ( $a=0$) i la part imaginària no ( $b\ne 0$), el nombre complex és de la forma $bi$ ( $b\ne 0$). Podem dir que no té part real, que només té part imaginària i per això diem que és imaginari pur.

Així que de nombres complexos n'hi ha de reals i d'imaginaris, i, d'aquests, els que no tenen part real són imaginaris purs.

L'única possibilitat que dos nombres complexos coincidexin és que les parts reals siguin iguals i les imaginàries també. És a dir:

Això vol dir que una equació amb nombres complexos sempre ens portarà a dues equacions amb nombres reals.

A cada nombre complex $z=a+bi$ li fem correspondre el parell ordenat de nombres reals $(a,b)$. Ja sabem que aquest parell el podem interpretar com les coordenades d'un punt del pla o com les components del vector de posició d'un punt del pla. Així que ara un punt del pla també el podem interpretar com la representació gràfica d'un nombre complex.

Quan ens mirem els punts del pla com a nombres complexos parlem de pla complex, l'eix horitzontal l'anomenem eix real perquè els seus punts corresponen a nombres complexos reals i l'eix vertical l'anomenem eix imaginari perquè els seus punts corresponen a nombres complexos imaginaris purs.

Els afixos corresponents a dos nombres complexos conjugats són simètrics respecte de l'eix real.

Nombres complexos conjugats apareixen com a solució de les equacions de 2n grau amb discriminant $\Delta =b^2-4ac<0$ . Pots tornar a mirar l'exemple B.1 a B. Nombres complexos

Així que el nombre complex $z=2-5i$ està expressat en forma binòmica. I el que veurem ara és que els nombres complexos els podem expressar d'altres maneres. Veiem aquestes altres formes d'expressar un nombre complex perquè ens faciliten algunes operacions amb nombres complexos.

Una manera molt fàcil però que no s'utilitza gaire perquè és molt semblant a la forma binòmica és escriure el nombre complex $z=a+bi$ d'aquesta altra forma $z=(a,b)$. És a dir, utilitzant les coordenades cartesianes de l'afix que el representa. Per això aquesta forma s'anomena forma cartesiana.

Quan parlàvem de la representació gràfica d'un nombre complex hem dit que es podia representar per un punt al pla, és el que hem anomenat afix, o pel vector de posició del punt. És a dir, per a representar el nombre complex també podem representar el vector de posició de l'afix. Aquest vector està completament determinat pel seu mòdul (que anomenem $r$) i el seu argument (que anomenem $\alpha$). Si treballem amb un nombre complex $z$, també utilitzem $\mid z\mid$ per al mòdul i Arg $(z)$ per a l'argument.

Així, per exemple $z=3_{{90}^o}$ és un nombre complex que el vector que el representa té un mòdul de 3 unitats i l'angle que forma amb el semieix positiu real és de 90º, i diem que està expressat en forma polar. Pots veure amb facilitat que seria $z=3i$ en forma binòmica i $z=(0,3)$ en forma cartesiana.

per tant:

Amb el que acabem de dir veiem que un nombre complex del que coneixem la seva expressió en forma polar $z=r_{\alpha }$ el podem escriure en forma binòmica així:

$a+bi=r\cos \alpha +(r\sin \alpha )i=r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$
Doncs, quan l'expressem d'aquesta manera, diem que està expressat en forma trigonomètrica.

Exemple E.1

Exemple E.2

Fer operacions amb nombres complexos és molt semblant a fer operacions amb radicals o amb expressions algèbriques amb una indeterminada. Només caldrà tenir en compte que $i^2=-1$.

Hem de destacar:

L'invers d'un nombre complex en forma binòmica es pot trobar també d'una altra manera. Pots mirar Càlcul directe de l'invers .

1. A. Introducció
2. B. Nombres complexos
3. C. El pla complex. Representació gràfica
4. D. Complexos conjugats
5. E. Expressions dels nombres complexos
6. F. Operacions en forma binòmica.
7. G. Operacions en forma polar.