Funcions exponencial i logarítmica a 1r de BAT

Suposem que tens $1000000$ € (d'aquí en endavant, 1 M€) estalviats i decideixes anar a la teva entitat bancària a invertir-los. Et proposen un compte a interès compost del 5% anual.

Això vol dir que aquests diners es convertiran d'aquí a un any en:

$1+{\displaystyle \frac{5}{100}}\cdot 1=1.05$ M€ $=1050000$ €

Passat un altre any (és a dir, al cap de 2 anys d'haver fet la inversió) en:

$1.05+{\displaystyle \frac{5}{100}}\cdot 1.05=1.1025$ M€ $=1102500$ €

Passat un altre any (és a dir, al cap de 3 anys d'haver fet la inversió) en:

$1.1025+{\displaystyle \frac{5}{100}}\cdot 1.1025=1.157625$ M€ $=1157625$ €

I així successivament ...

Observa que aquests càlculs es poden fer més ràpidament si ens fixem en el següent:

Si tenim un capital (quantitat de diners) $C$ i aquest augmenta un 5%, tindrem:

$C+{\displaystyle \frac{5}{100}}\cdot C=C+0.05C=C\cdot (1+0.05)=C\cdot 1.05$

És a dir, la manera més fàcil i ràpida de fer augmentar una quantitat un 5% és multiplicar-la per $1.05$. D'aquesta manera els càlculs anteriors els podrem fer així:

El milió d'euros es convertiran d'aquí a un any en:

$1\cdot 1.05=1.05$ M€ $=1050000$ €

Al cap de 2 anys d'haver fet la inversió tindrem:

$1.05\cdot 1.05={1.05}^2=1.1025$ M€ $=1102500$ €

Al cap de 3 anys d'haver fet la inversió tindrem:

${1.05}^2\cdot 1.05={1.05}^3=1.157625$ M€ $=1157625$ €

I així successivament ... Al cap de 10 anys d'haver fet la inversió tindrem:

${1.05}^{10}=1.628894627$ M€ $=1628894.63$ €

Podem dir, doncs, que la quantitat de diners que disposarem en el futur depèn del temps que hagi durat la nostra inversió. Tenim, per tant, una funció. La quantitat de diners que tindrem, que podem anomenar $C$, és la variable dependent, i el temps que duri la inversió, que podem anomenar $t$, és la variable independent. I la seva expressió seria la següent:

$C(t)={1.05}^t$

Com pots observar, aquesta funció és diferent a les que ens hem trobat fins ara. El que té d'especial és que la variable independent està a l'exponent. És per això que en diem que aquesta és una funció exponencial. Més concretament, diem que és la funció exponencial de base $1.05$.

Aquestes funcions ens les podem trobar en molts altres àmbits de les ciències.

En l'estudi de les malalties en medicina humana i veterinària causades per microorganismes, com ara bacteris, fongs o virus, s'empren, com un dels mètodes fonamentals, els cultius microbiològics. El cultiu de microorganismes és també fonamental en l'elaboració de certs aliments com la cervesa, el pa, el iogurt o el vinagre.

En un medi de cultiu introduïm un únic bacteri d'un tipus que es divideix cada hora. Al cap d'una hora hi haurà dos bacteris, a les 2 hores n'hi haurà 4 $=2^2$, a les 3 hores n'hi haurà 8 $=2^3$, etc ... Al cap de $x$ hores n'hi hauria $2^x$.

És evident que hi ha una relació entre la quantitat de bacteris que hi ha en el cultiu i les hores transcorregudes des del moment en que s'ha introduit el bacteri en el medi de cultiu. Si anomenem:

$x:$ el temps transcorregut (en hores)

$y:$ quantitat de bacteris que hi ha en el cultiu

$f:$ funció que expressa aquesta relació

Podem posar: $y=2^x$ o $f(x)=2^x$

Aquest és un exemple de les que anomenem funcions exponencials. I les anomenem així perquè la varialble independent és a l'exponent.

Preparat per començar? Endavant, doncs: Funcions exponencials i logarítmiques !!!!!!!!!!!!!!!!