Ja saps que la trigonometria ens permet relacionar els costats i els angles d'un triangle. Però amb les funcions trigonomètriques farem unes passes endavant, ens allunyarem
dels triangles i veurem que les funcions trigonomètriques ens permetran modelitzar molts fenòmens de la natura, amb una especial atenció a aquells que són periòdics.
|
Ara ens toca estudiar aquesta funció. Volem saber com és el seu gràfic i les seves principals característiques.
Podríem començar fent una taula de valors aprofitant les raons trigonomètriques dels principals angles que ja coneixem. Aquí la tens:
|
(en rad) | |
---|---|---|
I representant gràficament aquests punts tenim:
I, dibuixant la corba que passa per tots ells, obtenim:
També podem obtenir el gràfic amb l'ajuda del Geogebra:
Mou el punt de color blau (pots fer-ho clicant i arrossegant amb el ratolí) i observa què passa i mira d'entendre-ho.
Per exemple: com que vol dir que els angles i són coterminals, és a dir, tenen el mateix costat final, només que ha donat una volta sencera i un tros final de . És per això que, tenint el mateix costat final, tindran el mateix sinus:
Passaria el mateix amb els infinits angles que obtindríem després de dues, tres, quatre, ... voltes senceres i un tros final de . També amb voltes negatives, és a dir, girant en sentit horari.
Ho podem escriure així:
De manera informal podem dir que els valors del sinus es repeteixen cada
. I de manera formal diem que:
Observa i manipula la figura següent:
Anem ara a fixar-nos en els punts importants de la funció:
Els punts de tall amb l'eix OX es troben en els punts d'abscissa
Els màxims es troben en els punts d'abscissa
Així que les característiques de la funció que ens interessa destacar ara són:
El gràfic de la funció sinus es coneix com sinusoide.
Les noves funcions obtingudes fent alguna/es d'aquestes combinacions tenen gràfics relacionats amb el de la funció sinus, per això diem que són transformacions de la funció sinus.
En els apartats anteriors s'han estudiat per separat cadascuna d'aquestes transformacions, però molt sovint apareixen combinades algunes d'elles. Per exemple la funció .
De forma més general analitzarem funcions amb expressions de la forma:
Al gràfic següent pots modificar els valors de .
Només cal observar que la imatge de qualsevol per la funció serà la de la funció més 4 unitats.
Què provocarà aquest fet en el gràfic de la funció? Doncs, que el gràfic de estarà format pels punts de però desplaçats 4 unitats cap amunt.
De forma més general analitzarem funcions amb expressions de la forma:
Al gràfic següent pots modificar el valor de i moure el punt blau.
Podem obtenir el gràfic de a partir del de fent:
Només cal observar que la imatge de qualsevol per la funció serà la de la funció multiplicada per 2.
Què provocarà aquest fet en el gràfic de la funció? Doncs, que el gràfic de estarà format pels punts de però situats el doble de lluny de l'eix OX. Observa que els punts de tall amb l'eix OX no s'han mogut, perquè el doble de 0 és 0.
De forma més general analitzarem funcions amb expressions de la forma:
Al gràfic següent pots modificar el valor de i moure el punt blau .
Podem obtenir el gràfic de a partir del de fent:
Comprovem-ho:
Cal observar que la imatge de qualsevol per la funció serà la de la funció de , és a dir del que està 2 unitats a la seva dreta.
Què provocarà aquest fet en el gràfic de la funció? Doncs, que el gràfic de estarà format pels punts de però desplaçats 2 unitats cap a l'esquerra.
De forma més general analitzarem funcions amb expressions de la forma:
Al gràfic següent pots modificar el valor de i moure el punt blau. Mira d'entendre perquè quan és una translació cap a l'esquerra i quan ho és cap a la dreta.
Podem obtenir el gràfic de a partir del de fent:
Comprovem-ho:
Cal observar que la imatge de qualsevol per la funció serà la de la funció per a , és a dir, tindrà la imatge del que està el doble de lluny que ell de l'eix OY.
Què provocarà aquest fet en el gràfic de la funció? Doncs, que el gràfic de estarà format pels punts de però situats la meitat de lluny de l'eix OY. El punt de tall amb l'eix OY no s'ha mogut, perquè la meitat de 0 és 0.
De forma més general analitzarem funcions amb expressions de la forma:
Al gràfic següent pots modificar el valor de i moure el punt blau. Mira d'entendre perquè quan és una contracció i quan és una dilatació, de factor . En aquests casos tenim la sinusoide però més atapeïda o més allargassada, canvia per tant el període, cosa que en les transformacions anteriors no passava. El període és ara .
Podem obtenir el gràfic de a partir del de fent:
El període de és .
És molt fàcil veure que la imatge de qualsevol
per la funció
serà la de la funció
però canviada de signe.
Què provocarà aquest fet en el gràfic de la funció? Doncs, que el gràfic de estarà format pels punts de però situats simètricament respecte de l'eix OX. Els punts de tall amb l'eix OX no s'han mogut.
Al gràfic següent pots moure el punt blau
.
Podem obtenir el gràfic de g(x) = -sin x a partir del de fent:
Continuarem amb la funció .
És molt fàcil veure que la imatge de qualsevol
per la funció
serà la de la funció
però de
. La imatge dels positius amb
serà la dels negatius amb
i viceversa.
Què provocarà aquest fet en el gràfic de la funció? Doncs, que el gràfic de estarà format pels punts de però situats simètricament respecte de l'eix OY. El punt de tall amb l'eix OY no s'ha mogut.
Al gràfic següent pots moure el punt blau
.
Podem obtenir el gràfic de a partir del de fent:
Cal dir que, com has pogut observar, en el cas de la funció aquestes dues darreres transformacions han donat el mateix resultat. Però per motius diferents. Amb altres funcions (la funció cosinus, per exemple) es podrà veure que les dues transformacions porten a resultats diferents.
Per anar acabant, veurem la funció . En aquest cas només posarem el gràfic. Analitzeu vosaltres què passa.
Finalment veurem la funció . També posarem només el gràfic. Analitzeu vosaltres què passa.
En tots dos casos han desaparegut trossos de la funció vermella. Analitza què ha passat.
Com en el cas de la funció sinus volem saber com és el seu gràfic i les seves principals característiques.
Comencem també fent una taula de valors aprofitant les raons trigonomètriques dels principals angles que ja coneixem. Aquí la tens:
|
(en rad) | |
---|---|---|
I representant gràficament aquests punts tenim:
Posar l'exercici "Punts del cosinus", encara per fer!!!!
I, dibuixant la corba que passa per tots ells, obtenim:
També podem obtenir el gràfic amb l'ajuda del Geogebra:
Mou el punt de color blau (pots fer-ho clicant i arrossegant amb el ratolí) i observa què passa i mira d'entendre-ho.
Al gràfic següent pots modificar els valors de .
és una funció periòdica i el seu període és .
Sí que hem de fixar-nos en els punts importants de la funció cosinus:
Els punts de tall amb l'eix OX es troben en els punts d'abscissa
Els màxims es troben en els punts d'abscissa
Així que les característiques de la funció que ens interessa destacar ara són:
Com en el cas de la funció sinus i cosinus volem saber com és el seu gràfic i les seves principals característiques.
Comencem també fent una taula de valors aprofitant les raons trigonomètriques dels principals angles que ja coneixem. Aquí la tens:
|
(en rad) | |
---|---|---|
A destacar que, a diferència de les funcions sinus i cosinus, la funció tangent no assigna imatge a tots els nombres reals. Veiem a la taula que i no tenen imatge. De fet, hi haurà infinits nombres com aquests. Tots els de la forma . Això suposarà un gran canvi en el gràfic d'aquesta funció.
Provem de representar gràficament aquests punts:
Ara és molt perillós fer passar una línia per tots aquests punts perquè ja hem vist que i no tenen imatge i per tant aquesta funció no pot ser contínua. En aquest cas ens va molt bé el Geogebra perquè amb ell situarem una "infinitat" de punts i podrem veure molt bé com és el gràfic de la funció tangent.
Mou el punt de color blau (pots fer-ho clicant i arrossegant amb el ratolí) i observa què passa i mira d'entendre-ho. Ja te n'hauràs adonat que les discontinuïtats són asimptòtiques. De fet, en té infinites d'asímptotes. A continuació en pots veure unes quantes.
El que passarà també és que els valors de la tangent apareixeran repetits. Però es repetiran amb un període diferent.
Per exemple:
Ara es repeteixen cada mitja volta, és a dir cada rad.
Ho podem escriure així:
De manera informal podem dir que els valors de la tangent es repeteixen cada
. I de manera formal diem que:
Observa i manipula la figura següent:
Anem ara a fixar-nos en els punts importants, que ara seran només punts de tall amb l'eix OX i discontinuïtats de la funció. És prou evident que no té màxims ni mínims.
Els punts de tall amb l'eix OX es troben en els punts d'abscissa
Les discontinuïtats es troben en els punts d'abscissa
Ja hem dit que les discontinuïtats són asimptòtiques i per tant la funció tangent té infinites asímptotes verticals d'equacions:
Així que les característiques de la funció que ens interessa destacar ara són:
Les discontinuïtats asimptòtiques les haguéssim pogut estudiar com fèiem en el tema de límits i continuïtat, analitzem per exemple en :
I, per tant, caldria fer límits laterals per tenir més informació de l'asímptota.
Per exemple, si tenim una funció que al 3 li assigna el 8, la seva funció inversa al 8 li assignarà el 3, Dit d'una altra manera, si la funció passa pel punt , la seva funció inversa passarà pel punt .
També, si tenim una funció que assigna imatges multiplicant per 3, és a dir, , la seva funció inversa assignarà imatges dividint per 3, és a dir, .
Concretant, això vol dir que si la imatge de 5 per és 15, la imatge de 15 per ha de ser 5. Expressant-ho formalment:
Dit d'una altra manera, quan actua una funció darrera de l'altra (recorda: això és una composició de funcions) sobre el 5 obtenim el mateix 5.
També:
I això s'ha de complir no només per al 5 sinó per a qualsevol nombre real .
També:
Diem que una funció és la inversa d'una altra quan es compleixen:
Cal tenir en compte que hi ha funcions que no tenen inversa. I que si una funció té inversa, la inversa d'aquesta inversa és la mateixa . Ès a dir: .
Troba la funció inversa de . Després comprova que i .
Exercici: Càlcul de la funció inversa - I
Pot ser que ens interessi comprovar si una funció és inversa d'una altra.
Quan l'expressió de la funció és més complexa, no és tan fàcil trobar l'expressió de la inversa. En aquests casos podem seguir els següents passos:
Troba la inversa de la funció .
Si ens demanen que després de trobar la funció inversa comprovem que ho és, hem de comprovar, tal com hem fet als dos primers exemples, que:
En el gràfic següent s'ha construït un punt B amb les mateixes coordenades que un altre A però canviades de lloc. Mou el punt blau A i te n'adonaràs quina relació hi ha.
Així, doncs, podem dir que els gràfics de les funcions i són simètrics respecte de la bisectriu del primer i tercer quadrants (la recta d'equació ).
Ja hem dit que no totes les funcions tenen inversa. Però, quines són les que no en tenen?
Doncs aquelles que tenen algun/s valor/s de la variable dependent amb més d'una antiimatge. Perquè la seva inversa assignaria a aquest valor més d'una imatge i recordem que les funcions a cada valor de la variable independent els hi assignen un ÚNIC valor de la variable dependent.
Això ho podem veure en qualsevol de les formes en que pot venir donada una funció. En forma de taula.
-1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 9 | |
3 | -5 | 1 | 3 | 2 | 0 |
Observa que el 3 té dues antiimatges, el -1 i el 5. Llavors li assignaria, al 3, dues imatges i per tant no seria funció. Diem que no té inversa, . El mateix passa en les següents situacions:
Són especialment interessants els casos en que la funció ens la donen en forma de gràfic o de fórmula. Els analitzem conjuntament.
Donada la funció . En intentar trobar la inversa fem: i això ja ens indica que , qualsevol tindria dues imatges i això no pot ser.
Analitzem-ho ara gràficament. Saps molt bé que el gràfic de la funció és la paràbola següent, i el gràfic de la inversa hauria de ser el que veus, però ... clar, no seria funció!!
La idea és la següent: si es pot dibuixar alguna línia recta horitzontal que talli el gràfic de la funció en més d'un punt, llavors la funció no té inversa. És a dir, .
Dit d'una altra manera, si totes les línies rectes horitzontals que es poden dibuixar tallen el gràfic de la funció com a màxim en un punt, llavors la funció té inversa. És a dir, .
Però les funcions que no tenen inversa podem desfer-les en trossos de manera adequada per tal que en cada tros sí que tinguin inversa. I, com ho fem això de fer trossos d'una funció? Doncs, restringint el domini. Agafant una part només del domini inicial de la funció. És per això que aquestes inverses s'anomenen inversa parcial o inversa local .
En el cas de la funció anterior faríem el següent:
La funció arc cosinus és la funció inversa de la funció cosinus. És a dir:
Són diferents maneres d'expressar aquesta idea. Aprofitem per dir que moltes calculadores utilitzen l'expressió , i molts programes d'ordinador .
Però, pot ser hem anat massa de pressa!!! Primer ens hauríem d'haver plantejat si la funció cosinus té inversa!!!!
Ja deus haver observat que no en té, és de les que té inversa local o inversa parcial, són les que hem de restringir el domini per tal que tinguin inversa.
Arrossega el punt A, en el gràfic següent, i te n'adonaràs que el gràfic simètric de la funció respecte la recta no correspondria a una funció.
Per tant, cal fer una restricció en el domini de la funció cosinus per tal que això no passi.
Ens quedem amb el tros
Si haguéssim fet taula de valors tindríem:
Finalment podem fer un recull de les característiques d'aquesta funció.
La funció arc tangent és la funció inversa de la funció tangent. És a dir:
Són diferents maneres d'expressar aquesta idea. Aprofitem per dir que moltes calculadores utilitzen l'expressió , i molts programes d'ordinador .
Però, pot ser hem anat massa de pressa!!! Primer ens hauríem d'haver plantejat si la funció tangent té inversa!!!!
Ja deus haver observat que no en té, és de les que té inversa local o inversa parcial, són les que hem de restringir el domini per tal que tinguin inversa.
Arrossega el punt X, en el gràfic següent, i te n'adonaràs que el gràfic simètric de la funció respecte la recta no correspondria a una funció.
Per tant, cal fer una restricció en el domini de la funció tangent per tal que això no passi.
Ens quedem amb el tros
Si haguéssim fet taula de valors tindríem:
Finalment podem fer un recull de les característiques d'aquesta funció.
Fixa't que aquestes assímptotes horitzontals ens indiquen:
La funció arc sinus és la funció inversa de la funció sinus. És a dir:
Són diferents maneres d'expressar aquesta idea. Aprofitem per dir que moltes calculadores utilitzen l'expressió , i molts programes d'ordinador .
Però, pot ser hem anat massa de pressa!!! Primer ens hauríem d'haver plantejat si la funció sinus té inversa!!!!
Ja deus haver observat que no en té, és de les que té inversa local, són les que hem de restringir el domini per tal que tinguin inversa.
Arrossega el punt A, en el gràfic següent, i te n'adonaràs que el gràfic simètric de la funció respecte la recta no correspondria a una funció.
Per tant, cal fer una restricció en el domini de la funció sinus per tal que això no passi. Ens quedem amb el tros
Si haguéssim fet taula de valors tindríem:
Finalment podem fer un recull de les característiques d'aquesta funció.
Recorda que
Anomenem funció cotangent a la funció que a cada nombre real li fa correspondre el valor de la cotangent de l'angle que mesura radians, i l'expressem així:
També volem saber com és el seu gràfic i les seves principals característiques.
Comencem també fent una taula de valors aprofitant les raons trigonomètriques dels principals angles que ja coneixem. Aquí la tens:
|
(en rad) | |
---|---|---|
Com la funció tangent, la funció cotangent no assigna imatge a tots els nombres reals. Veiem a la taula que , i no tenen imatge. De fet, hi haurà infinits nombres com aquests. Tots els de la forma . Això suposarà que aquesta funció també tindrà discontinuïtats.
Provem de representar gràficament aquests punts:
Ara és molt perillós fer passar una línia per tots aquests punts perquè ja hem vist que , i no tenen imatge i per tant aquesta funció no pot ser contínua. En aquest cas ens va molt bé el Geogebra perquè amb ell situarem una "infinitat" de punts i podrem veure molt bé com és el gràfic de la funció cotangent.
Mou el punt de color blau (pots fer-ho clicant i arrossegant amb el ratolí o amb les tecles del cursor) i observa què passa i mira d'entendre-ho. Ja te n'hauràs adonat que les discontinuïtats són asimptòtiques. De fet, en té infinites d'asímptotes.
Així que les característiques de la funció que ens interessa destacar ara són:
És important que miris conjuntament els gràfics de les funcions i . Observa que en els punts de tall amb l'eix OX d'una és on hi té les asímptotes verticals l'altra i viceversa.
Analitzem-ho amb detall utilitzant els límits. Analitzem per exemple en que és un punt de tall de la tangent amb l'eix OX:
I, per tant, caldria fer límits laterals per tenir més informació de l'asímptota.
El mateix ens passaria en qualsevol dels punts on s'anul·la la funció , que recordem que són
Podeu analitzar vosaltres el que li passaria a la funció en els punts on s'anul·la la funció . Per exemple en que és un punt de tall de la cotangent amb l'eix OX:
Anomenem funció secant a la funció que a cada nombre real li fa correspondre el valor de la secant de l'angle que mesura radians, i l'expressem així:
També volem saber com és el seu gràfic i les seves principals característiques.
És important que miris conjuntament els gràfics de les funcions i . Observa que en els punts de tall amb l'eix OX de és on hi té les asímptotes verticals la . I en els punts on també és
Analitzem-ho amb detall utilitzant els límits. Analitzem per exemple en que és un punt de tall del cosinus amb l'eix OX:
I, per tant, caldria fer límits laterals per tenir més informació de l'asímptota.
El mateix ens passaria en qualsevol dels punts on s'anul·la la funció .
Analitzem ara que val en els punts on el cosinus val . Per exemple, en .
També volem saber com és el seu gràfic i les seves principals característiques.
És important que miris conjuntament els gràfics de les funcions i . Observa que en els punts de tall amb l'eix OX de és on hi té les asímptotes verticals la . I en els punts on també és
Analitzem-ho amb detall utilitzant els límits. Analitzem per exemple en que és un punt de tall del sinus amb l'eix OX:
I, per tant, caldria fer límits laterals per tenir més informació de l'asímptota.
El mateix ens passaria en qualsevol dels punts on s'anul·la la funció .
Analitzem ara que val en els punts on el sinus val . Per exemple, en .
Ja saps que tenim dos tipus d'igualtats, les que són certes sempre, posem el que posem al lloc de les variables, i diem que són identitats i les que no són sempre certes, que anomenem equacions, poden ser certes per algun/s valor/s que posem al lloc de les variables, que ara anomenem incògnites.
Per exemple, la igualtat saps que és certa sempre, independentment del valor que posem al lloc de la . És la relació fonamental de la trigonometria. És una identitat trigonomètrica. En canvi, no és sempre certa. És certa si la la substituïm per , o per . És, per tant, una equació trigonomètrica, i els valors i són solucions de l'equació. Però aquesta equació en té moltes més de solucions, més endavant mirarem d'escriure-les totes. Hi ha equacions que no tenen solució, per exemple: . Això vol dir que no hi ha cap valor que puguem posar al lloc de la que faci certa la igualtat. Les identitats les hem de demostrar, comprovar o verificar. Les equacions les hem de resoldre. Ja coneixes moltes identitats trigonomètriques, per exemple les identitats Pitagòriques:Les relacions entre les raons trigonomètriques:
Podríem continuar amb totes les fórmules que relacionen raons trigonomètriques d'angles complementaris, suplementaris, ..., les raons trigonomètriques de la suma d'angles, de la resta, de l'angle doble, ...
Podem utilitzar les identitats per simplificar expressions trigonomètriques. A vegades és possible reescriure una expressió trigonomètrica que sembla complicada d'una altra manera molt més simple. És com si nosaltres haguèssim de trobar una identitat trigonomètrica.
A l'exemple anterior hem fet la demostració algebraica, que és la millor. També ens pot ajudar fer una Comprovació gràfica o una Comprovació numèrica . Però com hem dit, la manera correcta de demostrar identitats és la demostració algebraica.
Tornem, doncs, amb més exemples de demostracions algebraiques.
no és una identitat. (Només ens cal posar al lloc adequat cada membre de la igualtat)
De fet, aquí també podríes comprovar si has fet bé una simplificació d'una expressió trigonomètrica. Pots practicar-ho amb la simplificació que s'ha vist a l'Exemple 1 de l'apartat anterior.
Aquesta comprovació numèrica té els mateixos perills que la gràfica, podria passar que coincidissin en els valors que posem però no en d'altres. És per això que la manera correcta de demostrar identitats és la demostració algebraica.
A les equacions, les variables, les anomenem incògnites.
Ja hem posat l'exemple de . És certa si la la substituïm per , o per . És una equació trigonomètrica, i els valors i són solucions de l'equació. Però aquesta equació en té moltes més de solucions, ara mirarem d'escriure-les totes. Aquí, donarem sempre les solucions en radians. Hi ha equacions que no tenen solució, per exemple: . Això vol dir que no hi ha cap valor que puguem posar al lloc de la que faci certa la igualtat. Les equacions trigonomètriques acabaran reduïdes a uns tipus bàsics, que són els que veurem en aquests primers exemples. Aquests els podrem fer sense calculadora i trobarem solucions exactes, has de recordar el valor exacte de les raons trigonomètriques dels angles importants de cada quadrant. Pots consultar aquesta Ajuda .
Anem a veure ara equacions també bàsiques però en les que necessitarem calculadora i donarem solucions aproximades.
En cas que l'equació trigonomètrica sigui més complexa, la resolució requereix, en general, la transformació en una altra equació equivalent més senzilla, semblant a una dels tipus bàsics.
També ens podem trobar equacions trigonomètriques on les funcions trigonometriques actuen sobre múltiples d'un angle, per exemple ... Resoldrem l'equació per aquest múltiple d'angle i finalment trobarem l'angle dividint o multiplicant.
Altres vegades cal utilitzar identitats trigonomètriques o elevar al quadrat els dos membres per poder resoldre l'equació. En aquest darrer cas, recordeu que s'han de comprovar les solucions.