Trigonometria a 4t ESO

Provinent de la llengua grega, la paraula trigonometria significa "mesura de triangles". Inicialment, la trigonometria tractava les relacions entre els costats i els angles dels triangles i es va utilitzar en el desenvolupament de l'astronomia, la navegació i la topografia. Amb el desenvolupament del càlcul i les ciències físiques al segle XVII, va sorgir una perspectiva diferent que veu les raons trigonomètriques clàssiques com funcions amb el conjunt dels nombres reals com els seus dominis. En conseqüència, les aplicacions de la trigonometria s'han ampliat per incloure a un gran nombre de fenòmens físics que impliquen rotacions i vibracions. Entre aquests fenòmens s'inclouen les ones de so, els raigs de llum, òrbites planetàries, cordes vibrants, pèndols, i les òrbites de les partícules atòmiques.

Pots començar amb aquesta Introducció històrica .

Preparat? Vinga, doncs: Trigonometria !!!!!!!!!!!!!!!

Measurement of the Earth's circumference

On the Sizes and Distances (Aristarchus)

El metro, el meridiano de París y Barcelona

Ingeniería Romana. Cap.1 Acueductos . Especialment els 13 minuts inicials.

1. Angles
2. Mesurar angles en graus
3. Mesurar angles en radians
4. Equivalència entre graus i radians
5. Mesura principal d'un angle
6. Raons trigonomètriques d'un angle agut
7. Resolució de triangles rectangles
8. Raons trigonomètriques d'un angle qualsevol
9. Relació entre les raons trigonomètriques d'angles complementaris
10. Relacions entre les raons trigonomètriques d'un mateix angle

Una unitat per mesurar angles és el grau, denotat amb el símbol ${}^{\circ }$. L'angle que fa una volta sencera mesura 360 ${}^{\circ }$. Un angle de 1 ${}^{\circ }$ és ${\displaystyle \frac{1}{360}}$ part d'una volta sencera (o angle complet).

Pots veure a continuació alguns angles en posició estàndard mesurats en graus:

Pots modificar el valor de l'angle i veure'l en posició estàndard.

Exercicis:

• Has d'encertar l'angle dibuixat 1
• Has d'encertar l'angle dibuixat 2

A més dels graus sexagesimals que ja coneixes, hi ha una altra unitat per mesurar els angles. És el radian o radiant (rad).

Si fem coincidir el vèrtex d'un angle amb el centre d'una circumferència, l'angle determina en la circumferència un arc.

DEFINICIÓ Un angle d'un radian és un angle $\theta$ que intercepta en una circumferència un arc $s$ que té la mateixa longitud que el radi $r$ amb el que s'ha traçat.
	$\mathrm{arc}=\mathrm{radi}\to \theta =1$ rad

La longitud $l$ d'una circumferència és $l=2\pi r$. És a dir, l'arc corresponent a un angle complet fa $s=2\pi r$ , això és, $2\pi$ vegades el radi. Per tant, l'angle complet té una mesura de $2\pi$ rad. Com que $2\pi \approx 6.28$, una circumferència sencera conté més de 6 vegades la longitud del radi.

D'aquesta manera, la relació que hi ha entre un angle $\theta$ en radians i la longitud $s$ de l'arc associat ve donada per: $s=\theta \cdot r$

És a dir, la longitud d'un arc de circumferència és igual a l'angle mesurat en radians multiplicat per la longitud del radi.

Aquí pots veure la mesura en radians d'alguns dels angles més habituals.

Sempre que es pugui, el angles en radians els expressarem com a múltiples o fraccions de $\pi$. Per exemple: $5\pi ,{\displaystyle \frac{3\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{9}}$.

Ves modificant els valors del radi i de la longitud de l'arc i observa com va canviant el valor de l'angle.

Exercicis:

• Angle i arc
• Angle en graus d'un arc
• El radian
• Angle en radians d'un arc
• Angle en radians i arc
• Angle en radians i arc 2

Ja saps que un angle complet mesura ${360}^{\circ }$ o $2\pi$ rad. Així, ja tens l'equivalència:

${360}^{\circ }=2\pi$ rad.
Qualsevol fracció o múltiple d'aquesta equivalència també ho serà. Per tant:

${180}^{\circ }=\pi$ rad	fent la meitat de l'anterior
${60}^{\circ }={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ rad	fent un terç de l'anterior
${120}^{\circ }={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ rad	fent el doble de l'anterior

Altres vegades caldrà donar valors aproximats: ${41}^{\circ }=0.7156$ rad, ${128}^{\circ }=2.2340$ rad.

En general, per passar de graus a radians pots multiplicar per ${\displaystyle \frac{\pi \mathrm{rad}}{{180}^{\circ }}}$ i per fer-ho de radians a graus per ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{\pi \mathrm{rad}}}$.

Exercicis:

• Passar de graus sexagesimals a radians 1
• Passar de graus sexagesimals a radians 2
• Passar de radians a graus sexagesimals 1
• Passar de radians a graus sexagesimals 2

Trobar la mesura principal d'un angle

Mirant els angles com a girs també té sentit parlar d'angles de més de ${360}^{\circ }$. Un angle de ${400}^{\circ }$ entenem que vol dir que s'ha girat una volta sencera i ${40}^{\circ }$ de la volta següent.

L'angle de ${390}^{\circ }$ queda en la mateixa posició que el de ${30}^{\circ }$, el de $-{150}^{\circ }$ que el de ${210}^{\circ }$ i el de $-{380}^{\circ }$ que el de ${340}^{\circ }$. Fer aquestes equivalències és el que en diem reduir un angle al primer gir o trobar la mesura principal de l'angle. És a dir, donat un angle es tracta de trobar-ne un altre de positiu i menor de ${360}^{\circ }$ que tingui el mateix costat final.

Cal fer una divisió entera per ${360}^{\circ }$ per conèixer el quocient enter (seran les voltes senceres) i el residu (l'angle reduït al primer gir). Si l'angle és negatiu has de fer alguna cosa més.

Exercici:

• Trobar la mesura principal d'un angle

Exercicis:

• Raons trigonomètriques d'un angle agut
• Raons trigonomètriques de l'angle de \(45^\circ)
• Raons trigonomètriques dels angles de \(30^\circ) i \(60^\circ)
• Trobar amb calculadora les raons trigonomètriques d'un angle agut
• Trobar amb calculadora l'angle agut

Les eines que disposem per resoldre qualsevol triangle rectangle són les següents:

Teorema de Pitàgores: $a^2=b^2+c^2$ Els angles aguts sumen ${90}^{\circ }$ : $B+C={90}^{\circ }$ Les raons trigonomètriques dels angles aguts: $\sin B={\displaystyle \frac{b}{a}};\cos B={\displaystyle \frac{c}{a}};\tan B={\displaystyle \frac{b}{c}}$ $\sin C={\displaystyle \frac{c}{a}};\cos C={\displaystyle \frac{b}{a}};\tan C={\displaystyle \frac{c}{b}}$

Exercicis:

• Resolució de triangles rectangles 1
• Resolució de triangles rectangles 2
• Resolució de triangles rectangles 3
• Resolució de triangles rectangles 4
• Triangle isòsceles
• Angle d'elevació
• Altura d'un arbre
• Helicòpter
• Disseny d'un robot 1
• Disseny d'un robot 2

Altres raons trigonomètriques

Les anteriors són les raons trigonomètriques més importants, però n'hi ha d'altres que també cal conèixer, són la cotangent, la secant i la cosecant.

Es defineixen així:

$\cot (x)={\displaystyle \frac{1}{\tan (x)}}$

$\sec (x)={\displaystyle \frac{1}{\cos (x)}}$

$\mathrm{cosec}(x)=\csc (x)={\displaystyle \frac{1}{\sin (x)}}$

Fixa't que la cosecant es pot expressar de dues formes diferents: $\mathrm{cosec}(x)$ o $\csc (x)$.

Exercicis:

• Sinus i cosinus d'un angle qualsevol
• Dibuixar angle 1
• Trobar amb calculadora les raons trigonomètriques d'un angle
• Trobar amb calculadora els angles

Recorda que dos angles són complementaris si la seva suma és ${90}^{\circ }$. Així, si un d'ells és $\alpha$, l'altre serà ${90}^{\circ }-\alpha$.

Exercici:

• Relació entre les raons trigonomètriques d'angles complementaris

Atès que a la circumferència unitat $\sin \alpha =y$ , $\cos \alpha =x$ i $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{y}{x}}$, ja tenim la primera relació entre les raons trigonomètriques d'un mateix angle:

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

Hi ha altres relacions anomenades Relacions Pitagòriques. Aplicant el Teorema de Pitàgores a cadascun dels triangles rectangle següents, tenim:

	$(\sin \alpha {)}^2+(\cos \alpha {)}^2=1^2$ Relació fonamental de la Trigonometria ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$
	$1^2+(\tan \alpha {)}^2=(\sec \alpha {)}^2$ $1+{\tan }^2\alpha ={\sec }^2\alpha$
	$1^2+(\cot \alpha {)}^2=(\mathrm{cosec}\alpha {)}^2$ $1+{\cot }^2\alpha ={\mathrm{cosec}}^2\alpha$

1. Angles
2. Mesurar angles en graus
3. Mesurar angles en radians
4. Equivalència entre graus i radians
5. Mesura principal d'un angle
6. Raons trigonomètriques d'un angle agut
7. Resolució de triangles rectangles
8. Raons trigonomètriques d'un angle qualsevol
9. Relació entre les raons trigonomètriques d'angles complementaris
10. Relacions entre les raons trigonomètriques d'un mateix angle