Polinomis

Doncs, no. No és casualitat. Això passarà en qualsevol divisió d'un polinomi $P(x)$ per $x-a$. És un fet important i és per això que s'anomena Teorema del residu.

El valor numèric d'un polinomi $P(x)$ per $x=a$, és a dir $P(a)$, coincideix amb el residu de la divisió d'aquest polinomi per $x-a$.

Vegem per què passa això:

En dividir un polinomi qualsevol $P(x)$ per $x-a$ obtindrem un quocient, que anomenem $Q(x)$, i un residu, que anomenem R. Com a qualsevol divisió es complirà:

$P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+R$

Si calculem $P(a)$ utilitzant aquesta expressió del polinomi $P(x)$, tenim:

$P(a)=(a-a)\cdot Q(a)+R=0\cdot Q(a)+R=0+R=R$

Això que acabem de fer és la demostració del teorema del residu.

Com que valor numèric i residu coincideixen, podem esbrinar una cosa calculant l'altra, si ens és més còmode, i viceversa.

Exemple 1: Calcula el valor numèric del polinomi $P(x)=2x^5-5x^4-2x^3+3x^2-4x+9$ per a $x=3$

Hem dit que el teorema del residu ens diu que $P(3)$ coincideix amb el residu de la divisió de $P(x)$ entre $x-3$. Llavors tenim dues opcions: calcular el valor numèric directament o fer la divisió per obtenir-ne el residu. Es tracta de veure quina és l'opció més senzilla de calcular.

• Esbrinem el valor numèric substituint la $x$ per $3$ en el polinomi $P(x)$:

  $P(3)=2\cdot 3^5-5\cdot 3^4-2\cdot 3^3+3\cdot 3^2-4\cdot 3+9=...=51$

  Fins i tot amb calculadora, els càlculs són una mica llargs.


• També podem fer la divisió $P(x):(x-3)$. Podem fer-la amb la regla de Ruffini perquè el divisor és de la forma $x-a$
  

  $$	$\mid$	$2$	$-5$	$-2$	$3$	$-4$	$9$
  $$	$\mid$	$$
  $3$	$\mid$	$$	$6$	$3$	$3$	$18$	$42$
  $$	$\mid$	$2$	$1$	$1$	$6$	$14$	$51$

  
  Amb Ruffini, els càlculs són més senzills. En aquest cas, és més còmode esbrinar $P(3)$ fent la divisió $P(x):(x-3)$, obtenir el residu i així, $P(3)=51$.

Exemple 2: Esbrina si la divisió $(x^{25}-5x^3+9):(x-1)$ és exacta?

Per tal de saber si la divisió és exacta cal saber el residu. Si el residu és $0$ la divisió és exacta, si no, no ho és.

Però, en aquest cas, fer la divisió és molt llarg, podem, doncs, trobar el residu fent el valor numèric.

Considerem el polinomi $P(x)=x^{25}-5x^3+9$ que és el dividend, llavors el residu de la divisió coincideix amb $P(1)$:

$P(1)=1^{25}-5\cdot 1^3+9=1-5\cdot 1+9=1-5+9=5\ne 0$

Així que la divisió no és exacta.

Criteri de divisibilitat d'un polinomi per $x-a$

Utilitzant el teorema del residu, podem afirmar que:

Un polinomi $P(x)$ és divisible entre $x-a$ si, i només si, $P(a)=0$.

Exemple 3: Comprova que $P(x)=x^5-x$ és divisible entre $x+1$.

Podriem fer la divisió per esbrinar si el residu és zero, però en aquest cas és més senzill calcular el valor numèric de $P(x)$ per a $x=-1$ :

$P(-1)=(-1{)}^5-(-1)=-1+1=0$

Aquest resultat ens permet assegurar que $P(x)$ és divisible per $x+1$.

Dir que $P(x)$ és divisible per $x+1$ és equivalent a dir que $P(x)$ és múltiple de $x+1$ i també a dir que $x+1$ és un divisor de $P(x)$.

Exercici 1: Tria el mètode que consideris més convenient per esbrinar el valor numèric d'aquests polinomis per al valor que s'indica:

1. $-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^4-5x^3+4x-2$ per a $x=12$


2. $-x^6+x^4-\sqrt{2}{x}^3-x^2$ per a $x=\sqrt{2}$


3. ${\displaystyle \frac{2}{5}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{5}}x+1$ per a $x=-5$

Exercici 2: Calcula el residu de la divisió $(2x^3-3):(x-2)$. Fes-ho mitjançant els dos procediments que hem analitzat. Explica quin és el més ràpid.

Exercici 3: Determina el valor de $k$ per tal que la divisió:

$(x^3-3x^2+5x+k):(x+3)$

sigui exacta.

Exercici 4: Esbrina el residu de la divisió $(x^9+1):(x+1)$. Pots obtenir-lo sense necessitat de fer la divisió.

Exercici 5: Comprova que $P(x)=x^3-3x^2-6x+8$ és divisible per $x+2$. Expressa el polinomi $P(x)$ com a producte de dos polinomis.

Exercici 6: Esbrina el valor de $k$ perquè el polinomi $x^4+k$ sigui divisible per $x+1$.

Exercici 7: Un polinomi $P(x)$ només té els divisors $3,x^2-1$ i ${\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{9}}$. Esbrina $P(x)$.

Exercici 8: Calcula $k$ perquè el polinomi $x^3-3x^2+k$ sigui múltiple de $x+1$.

Exercici 9: Indica si són certes o falses aquestes afirmacions:

1. $x^4-1$ és divisible per $x+1$


2. $x^5-1$ és múltiple de $x-1$


3. $x+2$ és divisor de $x^3+8$


4. $x^7+1$ és múltiple de $x+1$.


5. $x+3$ és divisor de $x^3-27$.

Donats un polinomi $P(x)$ i un $a\in ℝ$, diem que $a$ és una arrel o un zero de $P(x)$ si, i només si, $P(a)=0$

Càlcul de les arrels d'un polinomi i factorització:

Les arrels van molt lligades a la factorització d'un polinomi.

Anem a veure com es troben les arrels d'un polinomi i quina relació tenen amb la seva factorització segons diferents casos:

a) Polinomis de segon grau.

Per trobar les arrels d'un polinomi $P(x)=a{x}^2+bx+c$, cal plantejar l'equació que resulta d'igualar el polinomi a 0 i resoldre-la. Els valors que són solució de l'equació són les arrels del polinomi. Si l'equació només té una solució $s$, el polinomi serà $P(x)=a\cdot (x-s{)}^2$. Si l'equació té dues solucions, $s_1$ i $s_2$, llavors el polinomi $P(x)=a\cdot (x-s_1)\cdot (x-s_2)$.

OBSERVACIÓ: Fixa't bé que el coeficient de la $x^2$ apareix a la descomposició multiplicant els factors que corresponen a les arrels.

Exemple 1: Volem factoritzar $x^2-9$

Plantegem l'equació: $x^2-9=0$ i resolem (en aquest cas no cal aplicar la fórmula):

$x^2-9=0⟶x^2=9⟶x=\pm 3$

Les dues arrels són 3 i -3. El polinomi factoritzat queda: $x^2-9=(x+3)\cdot (x-3)$

Exemple 2: Volem factoritzar $2x^2-4x+2$

Plantegem l'equació: $2x^2-4x+2=0$ i resolem: només hi ha una solució, $x=1$, així que en principi el polinomi factoritzat quedaria com $(x-1{)}^2$ , però hi ha un número que multiplica $x^2$ , el $2$, per tant, la factorització correcta és: $2x^2-4x+2=2\cdot (x-1{)}^2$.

b) Polinomis de grau superior a 2.

Pels polinomis de grau superior a 2, només queda anar provant números fins a trobar una arrel. Els candidats són els divisors del terme independent (anirem fent Ruffini fins a trobar un valor pel qual el residu és 0).

El procediment es pot fer fins que al quocient quedi un polinomi de grau 2 i, aleshores, seguir amb el procediment que hem vist a l'apartat anterior, o bé segui amb Ruffini fins a que quedi al quocient un polinomi de grau 1.

Exemple: Volem factoritzar $x^4+3x^3-3x^2-7x+6$

Plantegem la divisió per Ruffini amb $x-1$ com a divisor:

Això vol dir que $1$ és una arrel de $x^4+3x^3-3x^2-7x+6$ i que per tant:

$x^4+3x^3-3x^2-7x+6=(x-1)\cdot (x^3+4x^2+x-6)$

Seguim amb 1:

Això vol dir que $1$ és una arrel de $x^3+4x^2+x-6$ i que per tant:

$x^3+4x^2+x-6=(x-1)\cdot (x^2+5x+6)$

Així que ja tenim:

$x^4+3x^3-3x^2-7x+6=(x-1{)}^2\cdot (x^2+5x+6)$

Aquí podríem fer servir la fórmula de l'equació de segon grau, o bé seguir amb Ruffini, per exemple amb $-2$:

Això vol dir que $-2$ és una arrel de $x^2+5x+6$ i que per tant:

$x^2+5x+6=(x+2)\cdot (x+3)$

Així que finalment el polinomi descompost en factors queda així:

$x^4+3x^3-3x^2-7x+6=(x-1{)}^2\cdot (x+2)\cdot (x+3)$

Les arrels són: $1$ (doble), $-2$ i $-3$ (simples), que són els valors que fan $0$ cadascun dels factors que surten a la descomposició factorial.

A l'hora de factoritzar polinomis també podem utilitzar altres eines com ara:

• Treure factor comú.
• Utilitzar les fórmules de les identitats notables.

Exercici 1: Determina, si és possible, les arrels enteres d'aquests polinomis:

• $A(x)=x^3-5x^2+6x$


• $B(x)=6x^3+7x^2-9x+2$


• $C(x)=2x^3+2$


• $D(x)=x^3+7x^2+6x$


• $E(x)=x^3+2x^2+x+2$


• $F(x)=x^4+x^2-2$

Exercici 2: Esbrina si $x=3$ és una arrel del polinomi $P(x)=x^3-2x^2-9$

Exercici 3: Determina les arrels del polinomi: $A(x)=(x^2-9)(2x-1)$

Exercici 4: Determina les arrels del polinomi: $A(x)=(x^2-9)(2x-1)$

Exercici 5: Calcula les arrels del polinomi $P(x)=(x^2-4)(3x+1)$.

Exercici 6: El polinomi $B(x)=(x^2+4)(x-1)$ només té una arrel real. Per què?

Exercici 7: Donat el polinomi $P(x)=x^3-x^2-8x+12$

Esbrina una arrel entera entre els divisors del terme independent. Determina'n totes les arrels. Factoritza'l.

Exercici 8: Factoritza aquests polinomis:

1. $x^4-1$


2. $x^5+x^4-x-1$


3. $x^4+4x^3+4x^2$


4. $9x^2+30x+25$


5. ${\displaystyle \frac{x^2}{9}}-9$


6. $x^4-3x^3-3x^2+11x-6$

Exercici 9: Calcula les arrels d'aquests polinomis mitjançant la seva factoritzacio:

1. $x^3+3x^2-13x-15$


2. $2x^4+6x^3-8x$


3. $3x^2+3x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$


4. $x^3+3x^2-4x$


5. $x^4+x^3-2x^2$


6. $x^4-3x^3-3x^2+11x-6$

Exercici 10: Les arrels d'un polinomi de segon grau són $2$ i $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ i el coeficient de $x^2$ és $6$. Quin és aquest polinomi?

El càlcul del MCD (Màxim Comú Divisor) i del mcm (mínim comú múltiple) de polinomis segueix els mateixos criteris que en el cas dels nombres enters, si bé aquí els factors no són nombres, sinó polinomis.

El MCD d’uns polinomis és el divisor comú a tots ells amb el grau més gran que existeix, i es calcula com el producte dels factors comuns amb l’exponent més petit. Si no hi ha cap factor comú el MCD és la unitat (MCD = 1).

El mcm d’uns polinomis és el múltiple comú a tots ells amb el grau més petit que existeix, i es calcula com el producte dels factors comuns i no comuns amb l’exponent més gran.

Exemple:

Calcula el MCD i el mcm de:

• $P(x)=x^2-5x+6$


• $Q(x)=x^3-3x^2+4$

Primer cal factoritzar els polinomis:

• $P(x)=x^2-5x+6=2(x-2)(x-3)$


• $Q(x)=x^3-3x^2+4=(x-2{)}^2(x+1)$

I llavors calcular el MCD i el mcm:

• $\mathrm{MCD}(P(x),Q(x))=x-2$


• $\mathrm{mcm}(P(x),Q(x))=2(x-2{)}^2(x-3)(x+1)$

Exercici 1: Calcula el MCD i el mcm dels polinomis:

1. $P(x)=x^2-9$ i $R(x)=x^2-6x+9$


2. $P(x)=x^2-1$ i $R(x)=3x^2-6x+3$


3. $A(x)=3x^4-3$ i $B(x)=3x^2-3$


4. $A(x)=x^2-2x-3$ , $B(x)=x^3+2x^2+x$ i $C(x)=x^3-8x^2+21x-18$

Exercici 2: Determina el MCD i el mcm de $S(x)=(x-2{)}^2$ i $T(x)=x^2-4$. Comprova que el producte dels dos polinomis que acabes d'esbrinar és igual al producte dels polinomis $S(x)$ i $T(x)$.

Exercici 3: El MCD de dos polinomis $A(x)$ i $B(x)$ és $1$. Quin és el seu mcm?

Molt sovint, les fraccions algèbriques tenen valors prohibits, això vol dir que hi ha valors de la $x$ pels quals la fracció no té valor numèric. Aquests valors prohibits són els que anul·len el denominador.

Exemple: Troba els valors prohibits de la fracció algèbrica ${\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{x^2-5x+6}}$.

Resolem l'equació $x^2-5x+6=0$

Les solucions d'aquesta equació, $x=2$ i $x=3$ són els valors prohibits de la fracció algèbrica.

És això per què:

per $x=2⟶{\displaystyle \frac{2^2+2\cdot 2-3}{2^2-5\cdot 2+6}}={\displaystyle \frac{4+4-3}{4-10+6}}={\displaystyle \frac{5}{0}}$ i això no és cap nombre!

per $x=3⟶{\displaystyle \frac{3^2+2\cdot 3-3}{3^2-5\cdot 3+6}}={\displaystyle \frac{9+6-3}{9-15+6}}={\displaystyle \frac{12}{0}}$ i això no és cap nombre!

La fracció algèbrica ${\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}$ és equivalent a la fracció algèbrica ${\displaystyle \frac{R(x)}{S(x)}}$ si, i només si,

$P(x)\cdot S(x)=R(x)\cdot Q(x)$

Exemple: La fracció algèbrica ${\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-4}}$ és equivalent a la fracció ${\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6}}$

Simplificar una fracció algèbrica consisteix en trobar una fracció algèbrica equivalent a la inicial de manera que el numerador i el denominador tinguin el mínim grau possible.

Per simplificar fraccions algèbriques fem el següent:

• Factoritzem el numerador i el denominador.
• Eliminem els factors que apareixen simultàniament al numerador i al denominador.

Exemple 1: Simplificació de la fracció algèbrica ${\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-4}}$.

${\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-4}}\stackrel{(*1)}{=}{\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{(x+2)(x-2)}}\stackrel{(*2)}{=}{\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}$

• $\left({}^{*}1\right)$ Factoritzem el numerador i el denominador.
• $\left({}^{*}2\right)$ Eliminem els factors que apareixen simultàniament al numerador i al denominador.

Exemple 2: Simplificació de la fracció algèbrica ${\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6}}$.

${\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x+3)}{(x+2)(x+3)}}={\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}$

Exemple 3: Simplificació de la fracció algèbrica ${\displaystyle \frac{x^3-x^2+x-1}{x^3-x^2-x+1}}$.

${\displaystyle \frac{x^3-x^2+x-1}{x^3-x^2-x+1}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x^2+1)}{(x-1{)}^2(x+1)}}={\displaystyle \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}}={\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2-1}}$

El producte de fraccions algèbriques es fa com el producte de fraccions numèriques; és a dir, numerador per numerador i denominador per denominador, però tenint present que operem amb polinomis en comptes de nombres.

Exemples:

1. ${\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}}\cdot {\displaystyle \frac{2x-1}{x+2}}={\displaystyle \frac{(2x+1)\cdot (2x-1)}{(x-3)\cdot (x+2)}}={\displaystyle \frac{4x^2-1}{x^2-x-6}}$


2. ${\displaystyle \frac{x^4-16}{x-2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x^2+2x}}={\displaystyle \frac{(x^4-16)\cdot 1}{(x-2)\cdot (x^2+2x)}}\stackrel{(*1)}{=}{\displaystyle \frac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{(x-2)x(x+2)}}={\displaystyle \frac{x^2+4}{x}}$
   $\left({}^{*}1\right)$ Intentarem sempre donar el resultat el més simplificat possible. Per estalviar-nos feina, abans de fer els productes factoritzem tots els polinomis, tant del numerador com del denominador, i eliminem els factors que apareixen simultàniament al numerador i al denominador.

La divisió de fraccions algèbriques es fa com la divisió de fraccions numèriques, però tenint present que operem amb polinomis en comptes de nombres.