Nombres complexes

Objectifs

Réviser les nombres complexes et les notions qui s'y rapportent et qui sont vues en Terminale: forme algébrique, trigonométrique.

Documents

  1. F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Algèbre 1ère Année, chapitre 3 (Dunod).
  2. A. Denmat et F. Héaulme, Algèbre générale, TD 6 (Dunod)
  3. I. Stewart, Analyse, concepts et contextes Volume 1, Fonctions d'une variable, Annexe C, (DeBoeck Université, 2001).

Guide

Histoire

On doit à Gauss une définition précise des nombres complexes (l'épithète est de lui en remplacement du qualificatif imaginaire qu'avaient utilisé à l'origine Cardan et Bombelli), l'écriture sous la forme a+bi, leur interprétation et représentation géométriques (dont la paternité revient à Argand et l'étude des fonctions analytiques d'une variable complexe.

Tiré de ChronoMath.

Tir complexe

Les exercices suivants sont importants pour bien comprendre ce que signifient les opérations sur les complexes géométriquement. Vous pouvez les faire dès maintenant, y revenir ensuite si certains points ne sont pas clairs après le cours.

Exercice : Connaissant un nombre complexe géométriquement, vous allez avoir à placer (en cliquant dans le plan complexe) un autre nombre complexe lié par une formule simple au premier : Tir complexe

Pour faire cet exercice, réfléchissez bien au module du nouveau nombre w par rapport à celui de z, essayez de calculer son angle par rapport à celui de z, transformez-le éventuellement.

Exercice : Reconnaître des zones du plan complexe exprimées en termes de l'argument, le module, la partie réelle et imaginaire.

Il y a plusieurs niveaux possibles :

Calculer avec la forme a+ib

Cours : Revoir les formules pour la somme et le produit de deux nombres complexes et pour l'inverse.

Exercice : Calcul de Fractions de nombres complexes mis sous la forme algébrique.

Calculs, forme trigonométrique

Exercices de calcul du module et de l'argument:

Il ne faut pas croire que la recherche de la forme trigonométrique d'un nombre complexe ne conduise qu'à rencontrer des arguments dont nous connaissons les cosinus et sinus par coeur. En général, on peut connaître une valeur approchée de l'argument d'un nombre complexe grâce à une calculatrice : soit elle dispose de cette fonction, soit on utilise la fonction arccos.

Linéarisation, Formule de Moivre

Formule de Moivre

La formule de Moivre est la formule suivante :
cos(nx)+isin(nx)=(cos(x)+isin(x)) n
C'est la traduction de la formule
exp(nix)=(exp(ix)) n
Par exemple, en utilisant l'expression de la puissance n-ème d'une somme à l'aide des coefficients binomiaux, on obtient
cos(5x)+isin(5x)=

cos(nx)

A partir de la formule de Moivre,
La formule de Moivre est la formule suivante :
cos(nx)+isin(nx)=(cos(x)+isin(x)) n
C'est la traduction de la formule
exp(nix)=(exp(ix)) n
Par exemple, en utilisant l'expression de la puissance n-ème d'une somme à l'aide des coefficients binomiaux, on obtient
cos(2x)+isin(2x)=
retrouver les formules donnant les cosinus et sinus d'une somme ou d'une différence, écrire en particulier les formules concernant l'arc double ou l'arc moitié et les apprendre par coeur.

Exercice : Exprimer cos3x et sin3x en fonction de cosx et de sinx .
Exercice : En remarquant que π12=π3−π4, donner la valeur exacte de cos(π12) à l'aide de radicaux.

Linéarisation et formules d'Euler

La linéarisation d'une expression trigonométrique comme sin 3xcos 2x consiste à la transformer en sommes et multiples d'expressions du type cos(nx) ou sin(nx). La méthode générale est d'utiliser l'expression du sinus et du cosinus en termes de l'exponentielle complexe
sin(x)=exp(ix)−exp(−ix)2i,cos(x)=exp(ix)+exp(−ix)2
d'effectuer les calculs, puis d'appliquer la formule précédente dans l'autre sens :
exp(nix)=cos(nx)+isin(nx)

Exercice : Linéariser sin 3xcos 2x

Peut-être avez-vous besoin de revoir la résolution d'équations du type cos(x)=a . Par là

Equations trigonométriques

Exercices : Nombre de solutions

Solutions

Calculs d'expressions du type cos(x+y).

Géométrie

Cours : Denmat-Héaulme, TD 6 - 4 et les livres de Terminale.

Revenez aux exercices graphiques en ligne.

Exercice : Décrire géométriquement l'ensemble des points M dont l'affixe z vérifie la relation suivante :
  1. ∣z∣<1
  2. z+z¯=1
  3. z−z¯=i
  4. ∣z−a∣=∣z−b∣ où a et b sont des complexes donnés
  5. z+z¯=∣z∣ 2
  6. ∣z−a∣=k∣z−b∣ où a et b sont des complexes donnés et k un réel positif.
    Introduire le point G barycentre de {(A,1),(B,−k)} où A est le point d'affixe a etB le point d'affixe b.
  7. arg(z−az−b)=u où u est un réel donné.

Exercice : Construire l'ensemble C des points d'affixe z vérifiant ∣z−i∣=∣iz−i∣=∣z−iz∣.

On peut construire C comme intersection de deux ensembles décrits dans l'exercice précédent.

Exercice : Montrer que toute solution de l'équation (z−1) 2n=(z+1) 2n est imaginaire et résoudre l'équation.

Quelques exercices divers et un quizz

Exercice : Faites votre choix parmi les exercices de OEF Nombres complexes par exemple:

Un Quizz à savoir faire rapidement

document de révision sur les nombres complexes.
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